特征分解 Eigendecomposition

特征分解，它是将矩阵分解为由特征值和特征向量表示矩阵之积的方法，但只有可对角化矩阵才能进行特征分解。

特征值可以看做是特征向量的长度在线性变化下的缩放比例，如果特征值为正，则表示 $latex v $经过线性变换的作用后方向也不变；如果特征值为负，说明方向会反转；如果特征值为 0，则是表示缩回零点。

标准矩阵的特征分解

假设 A 是 N x N 的方阵，且有 N 个线性独立的特征向量 Qi（i = 1,2,3，····，N），其中 A 可以被分解为 $latex \mathbf{A}=\mathbf{Q} \mathbf{\Lambda} \mathbf{Q}^{-1} $

其中，Q 为 N x N 方阵且第 i 列为 A 的特征向量 Qi，Λ 是对角矩阵，其对角线上的元素为对应的特征值，即 $latex \Lambda_{i i}=\lambda_{i} $

对称矩阵的特征分解

任意 N x N 实对称矩阵都有 N 个线性无关特征向量，且它们均可以正交单位化而得到一组正交且模为 1 的向量，因此对称矩阵 A 可被分解成 $latex \mathbf{A}=\mathbf{Q} \mathbf{\Lambda} \mathbf{Q}^{T} $

正规矩阵的特征分解

类似地，一个复正规矩阵具有一组正交特征向量基，故正规矩阵可以被分解成 $latex \mathbf{A}=\mathbf{U} \mathbf{\Lambda} \mathbf{U}^{H} $

其中 U 为酉矩阵，则得出结论，若 A 是埃尔米特矩阵，那么对角矩阵 Λ 的对角元全是实数；若 A 是酉矩阵，则 Λ 的所有对角元在复平面的单位圆上取得。