神经网络的几何秘密：架构与正则化如何决定模型偏好

神经网络在学习过程中是如何选择和偏好特定函数的？这个问题不仅是学术上的探讨，更是智能模型设计的基础。在这篇文章中，我们将通过几何视角来探索不同神经架构如何塑造假设空间，以及正则化如何影响这个过程。 两类学习者的对比 想象两个神经网络在同一数据集上训练：一个是浅层多层感知机（MLP），另一个是卷积神经网络（CNN）。虽然两者都能达到较低的训练误差，但它们的泛化能力差异显著。为什么呢？ 尽管这两种架构都属于“通用近似器”，即理论上可以表示任何函数，但MLP缺乏内置的空间局部性和平移不变性，必须从头学习这些归纳偏差。而CNN则在初始设计时就包含了这些特性，使得优化器更容易找到并优先考虑某些解法。这里的差异不仅在于可表示的函数种类，更在于优化过程中的便利性和偏好方向。 从函数到流形 为了更加精确地理解这个问题，可以将假设空间视为嵌入在更大函数空间中的一个流形。每种神经架构都定义了一个子流形，这些子流形并非平坦或均匀，而是曲面和结构化的。 卷积神经网络（CNN）偏爱平移等变的函数，图神经网络（GNN）偏爱置换不变的函数，而变换器（Transformer）则倾向于加权全局交互。优化器并不是在整个函数空间中搜索最佳解，而是沿着由架构定义的这一弯曲、结构化的流形移动。 正则化的影响 正则化通常被理解为惩罚复杂性，但这只是其功能的一部分。更深层次地，正则化定义了假设空间上的测度——即某些函数更可能、某些函数值得怀疑。例如： Dropout 通过减少对具体单元的依赖，倾向于分布式的表示方法。 谱范数正则化 约束了Lipschitz连续性，使模型更偏向于平滑的函数。 贝叶斯神经网络 则显式地指出了权重先验对函数的影响。 从这个角度看，正则化不仅仅是学习的约束，而是塑造力量。它改变了能量景观，决定了优化器最有可能停驻在哪一个谷底。这种影响尤为重要，因为不同的正则化方法和架构间可能存在非线性互作用。例如，某一在CNN中提高泛化能力的正则化方法在MLP中可能会导致性能下降，仅仅是因为假设空间的曲率或成分不同。 业内评论 这篇文章通过对神经网络假设空间的几何框架分析，为理解模型的学习偏好提供了新的视角。这种框架对于设计更加智能、高效的模型具有重要意义，尤其是在模型越来越复杂和应用愈发多样化的今天。文中提到的几个核心概念和技术手段，如子流形、谱范数正则化等，已经在多个科技巨头的研究中得到应用，证明了其理论与实践价值。 公司背景 Grok是一家专注于深度学习和机器学习研究的公司，致力于通过创新性的方法和技术推动该领域的发展。该公司拥有一支高水平的研究团队，发表过多篇有影响力的论文，在国际学术界享有较高声誉。此次研究进一步巩固了Grok在神经网络设计与正则化领域的领先位置。