최소제곱법

최소 제곱법오차 제곱합을 최소화하여 데이터에 가장 잘 맞는 함수를 찾는 수학적 최적화 방법입니다. 최소제곱법은 알려지지 않은 데이터를 빠르게 얻을 수 있으며, 얻은 데이터와 실제 데이터 간의 오차 제곱의 합을 최소화합니다.

최소제곱법의 형태

최소제곱법의 원리는 다음과 같습니다.

목적 함수 = ∑ (관측값 - 이론값)²

최소제곱법은 회귀 분석을 사용하여 과결정계(미지수보다 방정식이 많은 계)에 대한 근사해를 얻는 표준적인 방법입니다. 전체 솔루션에서 최소 제곱법은 각 방정식의 결과로 계산되고 잔차 제곱의 합은 최소화됩니다.

최소제곱법의 적용

최소제곱법은 곡선 적합에 자주 사용되며, 최소제곱법으로 가장 잘 맞는 것은 잔차 제곱의 합(관찰된 값과 모델이 제공한 적합된 값의 차이)을 최소화하는 것입니다.

최소제곱 문제는 일반적으로 선형 최소제곱과 비선형 최소제곱으로 나뉘며, 이는 모든 미지수의 잔차가 선형인지 여부에 따라 결정됩니다.

선형 최소 제곱 문제는 통계적 회귀 분석에서 자주 발생하며 폐쇄형 솔루션을 갖습니다. 비선형 문제는 일반적으로 반복적 개선을 통해 해결되며, 각 반복에서 시스템에 대한 선형 근사치가 제공됩니다. 따라서 두 경우 모두 핵심 알고리즘은 동일합니다.

관찰 결과가 지수적 분포를 띠고 온화한 조건이 충족되면 최소 제곱법과 최대 우도 추정치는 동일합니다.

최소제곱법의 한계

독립 변수에 큰 불확실성이 있는 경우 단순 회귀와 최소 제곱법의 문제가 발생하며, 이 경우 최소 제곱법 이외의 다른 접근 방식을 고려하여 모델을 변수-오차-적합에 맞춰야 합니다.