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보간법은 "보간법"이라고도 불립니다. 특정 구간 내의 여러 알려진 점에서 함수 f(x)의 함수 값을 이용하여 적절한 특정 함수를 만들고, 이 특정 함수의 값을 구간 내의 다른 점에서 함수 f(x)의 근사값으로 사용합니다. 이 방법을 보간이라고 합니다. 이 특정 함수가 다항식인 경우 다항식 보간이라고 합니다. 일반적으로 사용되는 다항식 보간 방법은 직접법, 라그랑주 보간법, 뉴턴 보간법 등이 있습니다.

정의

데이터 포인트(엑스_나,와이_나), 그 중 두 개 엑스_나 그들은 모두 다르며, 당신은 만족스러운 것을 찾아야 합니다.

P(x_나)=y_나, i=0,…, n

차수가 n보다 크지 않은 p차 다항식. 유일성 정리는 p차 다항식이 오직 하나만 존재한다고 말합니다.

더 복잡한 용어로 이 다항식은 다음과 같이 표현될 수 있습니다. n+1 보간점(x)에 대해_나), 다항식 보간은 선형 단사 변환을 정의합니다.

{\displaystyle L_{n}:\mathbb {K} ^{n+1}\to \Pi _{n}}

~에 ${\디스플레이스타일 \파이_{n}}$ 이하이다 N 다항식의 벡터 공간.

실제 응용 프로그램에서 이러한 보간점은 실험 측정에서 얻은 데이터나 복소 함수 y=f(x)의 값에서 나올 수 있습니다. 보간 다항식을 계산하면 이러한 실험 데이터 간의 패턴을 찾을 수 있고, 간단한 다항식 함수 y=P(z)를 사용하여 복소수 함수 y=f(x)를 근사할 수 있습니다.

다항식 보간법 구성

보간 다항식이 다음과 같은 형태라고 가정합니다.

${\디스플레이스타일 p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}.\qquad (1)}$

피 데이터 포인트 보간은 다음을 의미합니다.

{\displaystyle p(x_{i})=y_{i}\qquad {\mbox{모든 }}i에 대해 \left\{0,1,\dots ,n\right\}.}

방정식(1)에 대입하면 계수를 얻습니다. ${\디스플레이스타일 a_{k}}$ 선형 방정식 시스템 ${\begin{bmatrix}x_{0}^{n}&x_{0}^{n-1}&x_{0}^{n-2}&\ldots &x_{0}&1\\x_{1}^{n}&x_{1}^{n-1}&x_{1}^{n-2}&\ldots &x_{1}&1\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\x_{n}^{n}&x_{n}^{n-1}&x_{n}^{n-2}&\ldots &x_{n}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{n}\\a_{n-1}\\\vdots \\a_{0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y_{0}\\y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}.$

보간 다항식을 구성하려면 ${\디스플레이스타일 p(x)}$ 이 시스템을 풀기 위해 계수를 계산하세요 ${\디스플레이스타일 a_{k}}$ .

왼쪽의 행렬은 일반적으로 반데르몽드 행렬이라고 불리며, 행렬식은 0이 아닙니다. 이는 유일성 정리를 증명합니다. 즉, 보간 다항식은 단 하나뿐입니다.

다항식 보간의 응용

다항식은 소수의 데이터 포인트가 주어졌을 때 타이포그래피의 텍스트와 같은 복잡한 곡선을 근사화하는 데 사용할 수 있습니다. 관련 응용 분야로는 자연대수와 삼각함수의 값을 추정하는 것이 있습니다. 즉, 몇 개의 알려진 데이터 포인트를 선택하고, 조회 테이블을 작성한 다음, 이러한 데이터 포인트 사이를 보간합니다. 이로 인해 계산 속도가 매우 빨라집니다. 또한, 다항식 보간은 수치 적분과 수치 상미분 방정식 알고리즘의 기초가 됩니다.

다항식 보간은 2차 방정식의 곱셈과 제곱 연산에도 중요합니다. 예를 들어, 다음과 같은 것이 있습니다. 에이 = 에프(엑스) = 에이₀엑스⁰ + 에이₁엑스¹ + … 그리고 비 = g(엑스) = 비₀엑스⁰ + 비₁엑스¹ + … 그러면 제품 복근 동일한 여(엑스) = 에프(엑스)g(엑스) . 이러한 점을 기반으로 한 보간은 다음을 제공합니다. 여(엑스) 및 제품 복근 . 카라추바 곱셈의 경우, 이 기술은 일반적인 개수의 입력에 대한 2차 곱셈보다 빠르며, 특히 병렬 하드웨어로 구현할 때 더 빠릅니다.

참고문헌

【1】https://zh.wikipedia.org/wiki/