특이값 분해
특이값 분해이는 행렬 분해 방법입니다. 대칭 배열의 고유벡터 분해의 기초는 스펙트럼 분석이고, 특이값 분해는 스펙트럼 분석 이론을 임의의 행렬로 일반화한 것입니다.
이론적 설명
M이 모든 원소가 실수체 또는 복소체인 체 K에 속하는 m×n 행렬이라고 가정합니다. 이 경우, M = UΣV*인 분해가 존재하는데, 여기서 U는 m×m 단위 행렬입니다. Σ는 m×n의 음이 아닌 실수 대각 행렬입니다. 그리고 V*, 즉 V의 켤레 전치행렬은 n×n 단위행렬입니다. 이러한 분해를 M의 특이값 분해라고 하며, Σ의 대각선에 있는 원소 Σi,i는 M의 특이값입니다.
행렬 M의 특이값 분해에서 M = UΣV*
- V의 열은 M의 쌍 세트를 형성합니다. 직교 "입력" 또는 "분석" 기저 벡터. 이 벡터들은 M*M입니다 .의 특징 벡터.
- U의 열은 M의 쌍 세트를 형성합니다. 직교 "출력"의 기저 벡터. 이 벡터들은 MM* .의 특징 벡터.
- Σ 대각선의 요소는 특이값으로, 입력과 출력 사이의 스칼라 "확장 제어"로 볼 수 있습니다. 이것들은 MM* 그리고 M*M U와 V의 행 벡터에 대응하는 고유값의 음이 아닌 제곱근.
그래픽 표현과 기하학적 의미
특이값 분해는 Vt 회전, Σ 스케일링, U 다시 회전의 세 단계 행렬 분해로 볼 수 있습니다.
특이값 분해 응용 프로그램
- 일반화된 역행렬을 구하세요
- 행렬의 열 공간, 영공간, 랭크를 표현해보세요.
- 행렬 근사값 찾기