고유 분해

고유 분해는 행렬을 고유값과 고유벡터로 표현되는 행렬의 곱으로 분해하는 방법이지만, 대각화 가능한 행렬만이 고유 분해를 수행할 수 있다.

고유값은 선형 변화에 따른 고유벡터의 길이에 대한 스케일링 비율로 볼 수 있습니다. 고유값이 양수이면 선형 변환 후에도 $latex v $의 방향이 변하지 않음을 의미합니다. 고유값이 음수이면 방향이 반대가 된다는 것을 의미합니다. 고유값이 0이면 0으로 줄어든다는 의미입니다.

표준 행렬의 고유 분해

A가 N개의 선형 독립 고유 벡터 Qi(i = 1, 2, 3, ····, N)를 갖는 N x N의 정사각 행렬이라고 가정합니다. 여기서 A는 $latex \mathbf{A}=\mathbf{Q} \mathbf{\Lambda} \mathbf{Q}^{-1} $로 분해될 수 있습니다.

여기서 Q는 i번째 열이 A의 고유 벡터 Qi인 N x N 정사 행렬이고, Λ는 대각 요소가 해당 고유값인 대각 행렬입니다. 즉, $latex \Lambda_{ii}=\lambda_{i} $

대칭 행렬의 고유 분해

N x N 실수 대칭 행렬은 N개의 선형적으로 독립적인 고유 벡터를 가지며, 이들을 모두 직교 정규화하여 모듈러스 1의 직교 벡터 집합을 얻을 수 있으므로 대칭 행렬 A는 $latex \mathbf{A}=\mathbf{Q} \mathbf{\Lambda} \mathbf{Q}^{T} $로 분해될 수 있습니다.

정규 행렬의 고유 분해

마찬가지로 복소수 정규 행렬은 직교 고유 벡터 기저 집합을 가지므로 정규 행렬은 $latex \mathbf{A}=\mathbf{U} \mathbf{\Lambda} \mathbf{U}^{H} $로 분해될 수 있습니다.

U가 단위 행렬일 때, A가 에르미트 행렬이면 대각 행렬 Λ의 대각 원소는 모두 실수라는 결론을 내릴 수 있습니다. A가 단위 행렬이면, Λ의 모든 대각선 원소는 복소 평면의 단위 원에 취해집니다.