OGF: 비정상 난류의 통계적 정상 상태 시간 평균을 최적화하는 온라인 그래디언트 플로우 방법

혼란스러운 흐름은 무질서하고 안정적이지 않지만, 그 통계적 분포는 통계적으로 안정적인 상태로 수렴합니다. 공학에서 관심 있는 양들은 일반적으로 시간 평균 통계량의 형태를 띠며, 이는 1t∫t0f(u(x,τ;θ))dτ→t→∞F(x;θ)와 같이 표현됩니다. 여기서 u(x,t;θ)는 파라미터 θ를 갖는 나비어-스토크스 방정식의 해입니다. F(x;θ)에 대한 최적화는 기하학적 최적화, 유동 제어, 그리고 클로저 모델링을 포함한 많은 공학 응용 분야에서 사용됩니다. 그러나 이는 여전히 미해결된 과제로, 기존의 계산 접근법은 물리적으로 대표적인 그리드 포인트 수로 확장할 수 없습니다. 근본적인 장애물은 혼란스러운 흐름의 무질서함으로, 인접법(Adjoint method)으로 계산된 그래디언트가 t→∞일 때 지수적으로 발산하기 때문입니다. 우리는 큰 자유도 시스템으로 확장 가능하며, 혼란스럽고 안정적이지 않은 난류 해상 시뮬레이션의 정상 상태 통계량에 대해 최적화를 가능하게 하는 새로운 온라인 그래디언트 플로우(OGF) 방법을 개발하였습니다. 이 방법은 F(x;θ)의 그래디언트에 대한 온라인 추정치를 전방향으로 전파시키면서 동시에 파라미터 θ의 온라인 업데이트를 수행합니다. 알고리즘의 주요 특징은 더 빠른 최적화 진행을 촉진하고, 혼란성으로 인한 그래디언트 발산을 피하기 위해 유한 차분 추정기와 결합되는 완전히 온라인 성격입니다. 제안된 OGF 방법은 세 가지 혼란스러운 상미분 및 편미분 방정식에 대한 최적화에서 시연되었습니다: 로렌츠-63 방정식(Lorenz-63 equation), 구라모토-시바시키 방정식(Kuramoto--Sivashinsky equation), 그리고 압축성 강제 동질 등방성 난류(compressible, forced, homogeneous isotropic turbulence)의 나비어-스토크스 해입니다. 각 경우에서 OGF 방법은 F(x;θ) 기반 손실을 여러 자릿수만큼 효과적으로 줄이고 최적 파라미터를 정확히 복구하였습니다.