Entropie de Rayleigh généraliséeOn peut la considérer comme une extension de l'entropie de Rayleigh, qui fait référence à la fonction R(A,B,x) :

$latex {R{ \gauche( {A,B,x} \droite) }\texte{ }=\texte{ }\frac{{x\mathop{{}}\nolimits^{{H}}Ax}}{{x\mathop{{}}\nolimits^{{H}}Bx}}}$latexR\gauche(A,B,x\droite)\texte=\textexHBxxHAx​

Où x est un vecteur non nul, A et B sont des matrices hermitiennes n×n et B est une matrice définie positive. Soit $latex {x\text{'}\text{ }=\text{ }B\mathop{{}}\nolimits^{{-1/2}}x}$latexx’ = B−1/2x , alors le dénominateur peut être transformé en :

$latex {x\mathop{{}}\nolimits^{{H}}Bx\text{ }=\text{ }x\text{'}\mathop{{}}\nolimits^{{H}}{ \gauche( {B\mathop{{}}\nolimits^{{-{{1}/{2}}}}} \droite) }\mathop{{}}\nolimits^{{H}}BB\mathop{{}}\nolimits^{{-{{1}/{2}}}}x\text{'}\text{ }=\text{ }x\texte{'}\mathop{{}}\nolimits^{{H}}B\mathop{{}}\nolimits^{{-{{1}/{2}}}}BB\mathop{{}}\nolimits^{{-{{1}/{2}}}}x\texte{'}\texte{ }={x\texte{'}\mathop{{}}\nolimits^{{H}}x\texte{'}}}$latexxHBx = x’H\gauche(B−1/2\droite)HBB−1/2x’ = x\texte′HB−1/2BB−1/2x\texte′\texte=x\texte′Hx\texte′

Le numérateur est converti en :

$latex {x\mathop{{}}\nolimits^{{H}}Ax\text{ }=\text{ }x\text{'}\mathop{{}}\nolimits^{{H}}B\mathop{{}}\nolimits^{{-{{1}/{2}}}}AB\mathop{{}}\nolimits^{{-1/2}}x\text{'}}$latexxHAx = x’HB−1/2AB−1/2x’

à ce moment-là R(A,B,x) est transformé en ​R(A,B,x′) :

$latex {R{ \gauche( {A,B,x\texte{'}} \droite) }\texte{ }=\texte{ }\frac{{x\texte{'}\mathop{{}}\nolimits^{{H}}B\mathop{{}}\nolimits^{{-1/2}}AB\mathop{{}}\nolimits^{{-1/2}}x\texte{'}}}{{x\texte{'}\mathop{{}}\nolimits^{{H}}x\texte{'}}}}$latexR\gauche(A,B,x\texte′\droite)\texte=\textex\texte′Hx\texte′x\texte′HB−1/2AB−1/2x\texte′​

À partir de la formule ci-dessus, nous pouvons conclure que l'entropie de Rayleigh généralisée peut normaliser la matrice, ce qui joue un rôle important dans l'analyse discriminante linéaire de Fisher.

Références

【1】Calcul du quotient de Rayleigh et des valeurs extrêmes

【2】Résumé du principe de l'analyse discriminante linéaire (ADL)