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L'interpolation est également appelée « méthode d'interpolation ». Il utilise les valeurs de fonction de la fonction f(x) à plusieurs points connus dans un certain intervalle pour créer une fonction spécifique appropriée, et utilise la valeur de cette fonction spécifique comme valeur approximative de la fonction f(x) à d'autres points de l'intervalle. Cette méthode est appelée interpolation. Si cette fonction particulière est un polynôme, on parle d’interpolation polynomiale. Plusieurs méthodes d'interpolation polynomiale couramment utilisées sont : la méthode directe, la méthode d'interpolation de Lagrange et la méthode d'interpolation de Newton.

définition

Points de données (x_je,et_je), dont deux quelconques x_je Ils sont tous différents, vous devez donc trouver une solution satisfaisante.

P(x_je）=y_je, i=0,…, n

Un polynôme d'ordre p non supérieur à l'ordre n. Le théorème d'unicité stipule qu'il existe un et un seul polynôme d'ordre p.

En termes plus complexes, ce polynôme peut être exprimé comme suit : pour n+1 points d'interpolation (x_je), l'interpolation polynomiale définit une bijection linéaire

{\displaystyle L_{n} :\mathbb {K} ^{n+1}\to \Pi _{n}}

dans $\Pi _{n}$ est inférieur ou égal à n L'espace vectoriel des polynômes.

Dans les applications pratiques, ces points d'interpolation peuvent provenir de données obtenues à partir d'une mesure expérimentale ou de la valeur d'une fonction complexe y=f(x). En calculant le polynôme d'interpolation, nous pouvons trouver les modèles entre ces données expérimentales, ou utiliser une fonction polynomiale simple y=P(z) pour approximer une fonction complexe y=f(x).

Construire un interpolant polynomial

Supposons que le polynôme d'interpolation soit de la forme

$p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}.\qquad (1)$

p L'interpolation des points de données signifie

{\displaystyle p(x_{i})=y_{i}\qquad {\mbox{pour tout }}i\in \gauche\{0,1,\points ,n\droite\}.}

Si nous substituons dans l'équation (1), nous obtenons les coefficients $a_{k}$ Le système d'équations linéaires de ${\begin{bmatrix}x_{0}^{n}&x_{0}^{n-1}&x_{0}^{n-2}&\ldots &x_{0}&1\\x_{1}^{n}&x_{1}^{n-1}&x_{1}^{n-2}&\ldots &x_{1}&1\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\x_{n}^{n}&x_{n}^{n-1}&x_{n}^{n-2}&\ldots &x_{n}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{n}\\a_{n-1}\\\vdots \\a_{0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y_{0}\\y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}.$

Pour construire le polynôme d'interpolation $p(x)$ , pour résoudre ce système, calculez les coefficients $a_{k}$ .

La matrice de gauche est généralement appelée matrice de Vandermonde, et son déterminant n'est pas nul, ce qui prouve le théorème d'unicité : il n'y a qu'un seul polynôme interpolateur.

Applications de l'interpolation polynomiale

Les polynômes peuvent être utilisés pour approximer des courbes complexes, telles que du texte en typographie, à partir d'un petit nombre de points de données. Une application connexe consiste à estimer la valeur du logarithme naturel et des fonctions trigonométriques : sélectionnez quelques points de données connus, créez une table de recherche, puis interpolez entre ces points de données. Cela permet des calculs très rapides. De plus, l'interpolation polynomiale est également la base des algorithmes d'intégration numérique et d'équations différentielles ordinaires numériques.

L'interpolation polynomiale est également essentielle dans les opérations de multiplication sous-quadratique et de mise au carré. Par exemple, il y a un = f(x) = un₀x⁰ + un₁x¹ + … et b = g(x) = b₀x⁰ + b₁x¹ + … puis le produit un b égal W(x) = f(x)g(x) . L'interpolation basée sur ces points donnera W(x) et le produit un b . Pour la multiplication de Karatchuba, cette technique est plus rapide que la multiplication quadratique pour un nombre normal d'entrées, en particulier lorsqu'elle est implémentée dans du matériel parallèle.

Références

【1】https://zh.wikipedia.org/wiki/

Interopolation Polynomiale

définition

Construire un interpolant polynomial

Applications de l'interpolation polynomiale

Références