En mathématiques et en physique, l'opérateur de Laplace ou Laplacien est un opérateur différentiel donné par la divergence du gradient d'une fonction dans l'espace euclidien, généralement écrit comme , ou .

Il est nommé en l'honneur du mathématicien français Pierre-Simon Laplace (1749–1827). Dans son étude de la mécanique céleste, il a fait la première application en mathématiques d'un opérateur qui donne un multiple constant de la densité de masse lorsqu'il est appliqué à un potentiel gravitationnel donné. L'opérateur de Laplace est nul.  La fonction de est appelée fonction harmonique, désormais connue sous le nom d'équation de Laplace, et représente le champ gravitationnel possible dans l'espace libre.

L'opérateur de Laplace apparaît dans les équations différentielles qui décrivent de nombreux phénomènes physiques. Par exemple, les modèles mathématiques sont souvent utilisés dans les équations d’ondes, les équations de conduction thermique, la mécanique des fluides et l’équation de Helmholtz. En électrostatique, les applications de l'équation de Laplace et de l'équation de Poisson se retrouvent partout. En mécanique quantique, il représente le terme d'énergie cinétique dans l'équation de Schrödinger.

L'opérateur de Laplace est l'opérateur elliptique le plus simple et est au cœur de la théorie de Hodge et une conséquence de la cohomologie de de Rham.Dans le traitement d'images et la vision par ordinateur, l'opérateur laplacien a été utilisé pour diverses tâches telles que la détection de blobs et la détection de contours.

Références

【1】https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%89%E6%99%AE%E6%8B%89%E6%96%AF%E7%AE%97%E5%AD%90