Décomposition en valeurs singulièresC'est une méthode de décomposition matricielle. La base de la décomposition des vecteurs propres des tableaux symétriques est l'analyse spectrale, et la décomposition des valeurs singulières est la généralisation de la théorie de l'analyse spectrale aux matrices arbitraires.

Description théorique

Supposons que M soit une matrice m×n dont tous les éléments appartiennent au corps K, c'est-à-dire au corps réel ou au corps complexe. Dans ce cas, il existe une décomposition telle que M = UΣV*, où U est une matrice unitaire m×m ; Σ est une matrice diagonale réelle non négative m×n ; et V*, c'est-à-dire la transposée conjuguée de V, est une matrice unitaire n×n. Une telle décomposition est appelée décomposition en valeurs singulières de M, et les éléments Σi,i sur la diagonale de Σ sont les valeurs singulières de M.

Dans la décomposition en valeurs singulières de la matrice M M = UΣV*

• Les colonnes de V forment un ensemble de paires de M Les vecteurs de base orthogonaux « d'entrée » ou « d'analyse » de . Ces vecteurs sont M*M Le vecteur de caractéristiques de .
• Les colonnes de U forment un ensemble de paires de M Les vecteurs de base de la « sortie » orthogonale. Ces vecteurs sont MM* Le vecteur de caractéristiques de .
• Les éléments sur la diagonale Σ sont des valeurs singulières, qui peuvent être considérées comme un « contrôle d'expansion » scalaire entre l'entrée et la sortie. Ce sont MM*  et M*M Les racines carrées non négatives des valeurs propres de , correspondant aux vecteurs lignes de U et V .

Représentation graphique et signification géométrique

La décomposition en valeurs singulières peut être considérée comme trois étapes de décomposition matricielle : rotation de Vt, mise à l'échelle de Σ et rotation de U à nouveau

Applications de la décomposition en valeurs singulières

• Trouver la matrice inverse généralisée
• Donner une représentation de l'espace colonne, de l'espace nul et du rang d'une matrice
• Trouver des approximations matricielles

Termes connexes : matrice unitaire, décomposition spectrale

Terme parent : Factorisation matricielle