Hyperplan de séparationC'est un plan qui divise deux ensembles convexes non sécants en deux parties.

En mathématiques, un hyperplan est un sous-espace linéaire dans un espace euclidien à n dimensions avec une codimension égale à 1. Pour les petites dimensions, c'est une droite dans un plan et un plan dans l'espace.

Théorème de séparation des hyperplans

S'il existe deux ensembles d'union C et D (disjoints, c'est-à-dire C ∩ D = ∅), et que les deux ensembles sont convexes,

Alors il doit exister un hyperplan (un hyperplan est à la fois un ensemble convexe et un ensemble affine),

De sorte que pour tous les points x de l'ensemble C, a ^T x ≤ b , x ∈ C, tous les points x de l'ensemble D satisfont a ^T x ≥ b, x ∈ D,

En d'autres termes, la fonction affine a ^T – b est non positif sur l’ensemble C et non négatif sur l’ensemble D.

Hyperplan { x | un ^T = b } est appelé l'hyperplan de division des ensembles C et D, comme le montre la figure ci-dessous.

Théorème de Converse

Théorèmes de séparation des hyperplans inverses :

Pour deux ensembles convexes C et D, dont au moins l'un est ouvert, alors les ensembles C et D sont disjoints si et seulement s'il existe un hyperplan séparateur entre eux.

Mots apparentés : ensemble affine, optimisation convexe

Sous-mot : Hyperplan