Matrice définie positiveest une matrice symétrique dont toutes les valeurs propres sont supérieures à 0. Une matrice définie positive en algèbre linéaire est une matrice hermitienne avec des propriétés similaires aux nombres réels positifs en nombres complexes. L'opérateur linéaire correspondant à une matrice définie positive est une forme bilinéaire définie positive symétrique.

Propriétés des matrices définies positives

• Le déterminant d'une matrice définie positive est toujours positif ;
• Une matrice symétrique réelle A est définie positive si et seulement si A est identique à la matrice identité ;
• Si A est une matrice définie positive, alors la matrice inverse de A est également une matrice définie positive ;
• La somme de deux matrices définies positives est une matrice définie positive ;
• Le produit d'un nombre réel positif et d'une matrice définie positive est une matrice définie positive.

Détermination de matrice définie positive

Selon la définition et les propriétés de la matrice définie positive, il existe deux méthodes pour déterminer la définition positive de la matrice symétrique A :

• Trouver toutes les valeurs propres de A : Si toutes les valeurs propres de A sont positives, alors A est définie positive ; si toutes les valeurs propres de A sont négatives, alors A est défini négatif ;
• Calculer les mineurs principaux de A : Si les mineurs principaux de A sont tous supérieurs à zéro, alors A est défini positif ; si parmi les mineurs principaux de A, les mineurs principaux d'ordre impair sont négatifs et les mineurs principaux d'ordre pair sont positifs, alors A est défini négatif.

Applications des matrices définies positives

Les propriétés des matrices définies positives, telles que l'existence d'une décomposition LDU unique, peuvent être encore décomposées en GGT si elle est réelle et symétrique, et la décomposition triangulaire de la matrice peut réduire considérablement la complexité de calcul. La matrice de covariance de l'échantillon est une matrice définie positive réelle et symétrique.

Mots apparentés : matrice, valeur propre