Composition Propre
La décomposition propre est une méthode de décomposition d'une matrice en produit de matrices représentées par des valeurs propres et des vecteurs propres, mais seules les matrices diagonalisables peuvent effectuer une décomposition propre.
La valeur propre peut être considérée comme le rapport d'échelle de la longueur du vecteur propre sous changement linéaire. Si la valeur propre est positive, cela signifie que la direction de $latex v $ reste inchangée après la transformation linéaire ; si la valeur propre est négative, cela signifie que la direction sera inversée ; si la valeur propre est 0, cela signifie qu'elle se réduit à zéro.
Décomposition des valeurs propres d'une matrice standard
Supposons que A est une matrice carrée de N x N avec N vecteurs propres Qi linéairement indépendants (i = 1, 2, 3, ····, N), où A peut être décomposé en $latex \mathbf{A}=\mathbf{Q} \mathbf{\Lambda} \mathbf{Q}^{-1} $
Où Q est une matrice carrée N x N dont la i-ème colonne est le vecteur propre Qi de A, et Λ est une matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont les valeurs propres correspondantes, c'est-à-dire $latex \Lambda_{ii}=\lambda_{i} $
Décomposition propre d'une matrice symétrique
Toute matrice symétrique réelle N x N possède N vecteurs propres linéairement indépendants, et ils peuvent tous être normalisés orthogonalement pour obtenir un ensemble de vecteurs orthogonaux de module 1, de sorte que la matrice symétrique A peut être décomposée en $latex \mathbf{A}=\mathbf{Q} \mathbf{\Lambda} \mathbf{Q}^{T} $
Décomposition des valeurs propres d'une matrice normale
De même, une matrice normale complexe possède un ensemble de bases de vecteurs propres orthogonaux, de sorte que la matrice normale peut être décomposée en $latex \mathbf{A}=\mathbf{U} \mathbf{\Lambda} \mathbf{U}^{H} $
Où U est une matrice unitaire, nous pouvons conclure que si A est une matrice hermitienne, alors les éléments diagonaux de la matrice diagonale Λ sont tous des nombres réels ; si A est une matrice unitaire, alors tous les éléments diagonaux de Λ sont pris sur le cercle unité dans le plan complexe.