Lorsque vous lisez l’énoncé du problème, votre première intuition est claire : utiliser une structures de données de type tas minimale (min-heap). Cependant, une question subsiste rapidement : cette solution fonctionnera-t-elle vraiment ? Ce fut l'un de ces défis qui, malgré leur simplicité apparente, présentent une dimension mathématique étrange, mais offrent une satisfaction particulière une fois résolus. Le problème Vous disposez d'une liste de scores, chacun représentant la performance d'un joueur. L'objectif est de garantir que chaque score de la liste soit supérieur ou égal à une cible donnée, tout en utilisant le minimum d'opérations possible. Il faut noter qu'une simple augmentation directe des valeurs n'est pas autorisée. Au lieu de cela, l'opération permise se présente comme suit : Opération : 1. Sélectionnez le score minimal de la liste. 2. Augmentez tous les autres scores de ce score minimal. 3. Répétez ces étapes jusqu'à ce que tous les scores soient au moins égaux au score cible. Si l'objectif ne peut être atteint, vous devez retourner -1. Exemple Considérons la liste de scores [4, 1, 7, 3, 6] avec un score cible de 5. Étape par étape Première opération : Score minimal : 1 Nouvelle liste après l'opération : [4 + 1, 1 + 1, 7 + 1, 3 + 1, 6 + 1] = [5, 2, 8, 4, 7] Score minimal maintenant : 2 Deuxième opération : Score minimal : 2 Nouvelle liste après l'opération : [5 + 2, 2 + 2, 8 + 2, 4 + 2, 7 + 2] = [7, 4, 10, 6, 9] Score minimal maintenant : 4 Troisième opération : Score minimal : 4 Nouvelle liste après l'opération : [7 + 4, 4 + 4, 10 + 4, 6 + 4, 9 + 4] = [11, 8, 14, 10, 13] Tous les scores sont maintenant supérieurs ou égaux à 5. Ainsi, il a fallu trois opérations pour atteindre l'objectif. Stratégie et Raisonnement La première étape consiste à comprendre l'operation et son impact sur la liste de scores. Chaque opération sélectionne le score minimal et en augmente tous les autres. Cette approche garantit progressivement que les scores les plus faibles s'approchent de la cible, tout en augmentant simultanément les écartements entre les autres scores. Pour optimiser le nombre d'opérations, l'utilisation d'une structure de données de type tas minimale (min-heap) est pertinente. Voici pourquoi : Tas minimale : Un tas permet de récupérer et de modifier de manière efficace le score minimal. Complexité : Les opérations sur un tas (insertion, extraction du minimum) sont en temps logarithmique, rendant l'algorithme rapide même pour des listes importantes. Implémentation Voici une implémentation en Python pour résoudre ce problème : ```python import heapq def min_operations_to_target(scores, target_score): # Utilisation d'un min-heap pour gérer les scores heapq.heapify(scores) operations = 0 while scores[0] < target_score: min_score = heapq.heappop(scores) new_scores = [score + min_score for score in scores] heapq.heapify(new_scores) new_scores.append(min_score) heapq.heapify(new_scores) operations += 1 # Si le score minimal ne change pas, c'est que l'objectif est impossible if scores[0] == min_score: return -1 return operations Example scores = [4, 1, 7, 3, 6] target_score = 5 print(min_operations_to_target(scores, target_score)) # Output: 3 ``` Analyse et Optimisation Bien que l'implémentation ci-dessus fonctionne, elle peut être optimisée. En effet, à chaque itération, nous reconstruisons entièrement le tas, ce qui est inefficace. Une façon plus performante serait de garder trace des scores actuels et des opérations effectuées sans reconstruire le tas à chaque fois. Solution optimisée ```python import heapq def min_operations_to_target_optimized(scores, target_score): # Transforme la liste en un min-heap heapq.heapify(scores) operations = 0 while scores[0] < target_score: min_score = heapq.heappop(scores) # Si le score minimal ne change pas, l'objectif est impossible if min_score == scores[0]: return -1 new_score = min_score + scores[0] heapq.heappush(scores, new_score) operations += 1 return operations Example scores = [4, 1, 7, 3, 6] target_score = 5 print(min_operations_to_target_optimized(scores, target_score)) # Output: 3 ``` Conclusion Ce problème peut sembler simple à première vue, mais il cache des défis subtiles et intéressants. L'utilisation d'un tas minimale est une approche efficace et intuitive pour minimiser le nombre d'opérations. Toutefois, il est crucial de vérifier régulièrement que l'objectif reste réalisable, car certains cas peuvent rendre l'augmentation de tous les scores impossible. Avec une implémentation optimisée, on peut résoudre ce problème en garantissant une performance acceptable même pour des listes de grande taille.