Yongji Wang Mehdi Bennani James Martens Sébastien Racanière Sam Blackwell et al

Résumé

La question de savoir si des singularités peuvent se former dans les fluides demeure une question fondamentale non résolue en mathématiques. Ce phénomène se produit lorsque les solutions des équations gouvernantes — telles que les équations d’Euler en 3D — développent des gradients infinis à partir de conditions initiales lisses. Historiquement, les approches numériques ont principalement permis d’identifier des singularités stables. Toutefois, celles-ci ne sont pas censées exister pour des problèmes ouverts fondamentaux, comme les cas d’Euler et de Navier-Stokes sans frontière, où l’on suppose que des singularités instables jouent un rôle crucial. Dans cet article, nous présentons la première découverte systématique de nouvelles familles de singularités instables. Une singularité stable est un résultat robuste, qui se forme même en cas de perturbation légère de l’état initial. En revanche, les singularités instables sont extrêmement difficiles à observer : elles nécessitent des conditions initiales ajustées avec une précision infinie, se trouvant dans un état instable tel que des perturbations infinitésimales dévient immédiatement la solution de sa trajectoire de blow-up. En particulier, nous présentons plusieurs nouvelles solutions auto-similaires instables pour l’équation des milieux poreux incompressibles et pour l’équation d’Euler en 3D avec frontière, révélant une formule asymptotique empirique simple reliant le taux de blow-up à l’ordre d’instabilité. Notre approche combine des architectures de machine learning soigneusement conçues et des schémas d’entraînement avec un optimiseur Gauss-Newton à haute précision, atteignant des niveaux de précision qui dépassent significativement ceux des travaux antérieurs pour toutes les solutions découvertes. Pour certaines solutions spécifiques, nous atteignons une précision proche de la double précision machine, limitée uniquement par les erreurs d’arrondi propres au matériel GPU. Ce niveau de précision satisfait les exigences pour une validation mathématique rigoureuse via des preuves assistées par ordinateur. Ce travail ouvre une nouvelle voie pour explorer le paysage complexe des équations aux dérivées partielles non linéaires (EDP) et relever des défis anciens en physique mathématique.