OGF : Une Méthode de Flux de Gradient en Ligne pour l'Optimisation des Moyennes Statistiques à État Stationnaire des Écoulements Turbulents Instationnaires

Les écoulements turbulents sont chaotiques et instables, mais leur distribution statistique converge vers un état statistique stationnaire. Les grandeurs d'intérêt en ingénierie prennent généralement la forme de statistiques moyennes sur le temps, telles que (\frac{1}{t} \int_{0}^{t} f(u(x,\tau;\theta)) \, d\tau \to F(x;\theta)) lorsque (t \to \infty), où (u(x,t;\theta)) sont les solutions des équations de Navier-Stokes avec les paramètres (\theta). L'optimisation de (F(x;\theta)) a de nombreuses applications en ingénierie, notamment l'optimisation géométrique, le contrôle des écoulements et la modélisation de fermeture. Cependant, cela reste un défi ouvert, car les approches computationnelles existantes ne sont pas capables de s'adapter à des nombres physiquement représentatifs de points de grille. L'obstacle fondamental est la nature chaotique des écoulements turbulents : les gradients calculés avec la méthode adjointe divergent exponentiellement lorsque (t \to \infty). Nous développons une nouvelle méthode de flux gradient en ligne (OGF) qui est adaptable aux systèmes à grand nombre de degrés de liberté et permet d'optimiser les statistiques stationnaires d'une simulation résolvant la turbulence, chaotique et instable. Cette méthode propage en avant une estimation en ligne du gradient de (F(x;\theta)) tout en effectuant simultanément des mises à jour en ligne des paramètres (\theta). Un aspect clé est la nature entièrement en ligne de l'algorithme pour accélérer le progrès de l'optimisation et sa combinaison avec un estimateur par différences finies pour éviter la divergence des gradients due au chaos. La méthode OGF proposée est illustrée par trois optimisations sur des équations différentielles ordinaires et partielles chaotiques : l'équation de Lorenz-63, l'équation de Kuramoto-Sivashinsky et les solutions des équations de Navier-Stokes pour une turbulence homogène isotrope compressible forcée. Dans chaque cas, la méthode OGF réduit considérablement la perte basée sur (F(x;\theta)) d'un ordre de grandeur plusieurs fois et récupère précisément les paramètres optimaux.