Images de persistance : une représentation vectorielle stable de l'homologie persistante

De nombreux ensembles de données peuvent être considérés comme des échantillonnages bruités d'un espace sous-jacent, et les outils de l'analyse topologique des données peuvent caractériser cette structure pour la découverte de connaissances. Un tel outil est l'homologie persistante, qui fournit une description multirésolution des caractéristiques homologiques au sein d'un ensemble de données. Une représentation utile de ces informations homologiques est le diagramme de persistance (PD). Des efforts ont été déployés pour mapper les PDs dans des espaces dotés d'une structure supplémentaire précieuse pour les tâches d'apprentissage automatique. Nous convertissons un PD en une représentation vectorielle à dimension finie que nous appelons image de persistance (PI), et nous prouvons la stabilité de cette transformation par rapport à de petites perturbations dans les entrées. La puissance discriminatoire des PI est comparée aux méthodes existantes, montrant des gains de performance significatifs. Nous explorons l'utilisation des PI avec des outils d'apprentissage automatique basés sur les vecteurs, tels que les machines à vecteurs supports linéaires parcimonieuses, qui identifient les caractéristiques contenant des informations topologiques discriminatoires. Enfin, l'inférence à haute précision des valeurs paramétriques à partir de la sortie dynamique d'un système dynamique discret (la carte tordue liée) et d'une équation aux dérivées partielles (l'équation anisotrope de Kuramoto-Sivashinsky) offre une nouvelle application de la puissance discriminatoire des PI.