Comprendre et Implémenter les Contractions de Tenseurs en C++ Moderne : Un Guide pour les Ingénieurs AI/ML

Résumé : Implémentation des Contractions de Tenseurs en C++ Moderne Contexte et Importance des Contractions de Tenseurs Les contractions de tenseurs sont des opérations fondamentales dans les systèmes d'intelligence artificielle moderne, occupant une place centrale dans les calculs effectués par les moteurs d'algèbre linéaire sous-jacents. Malgré leur importance, il existe peu de références techniques abordables sur le sujet, ce qui explique pourquoi beaucoup de professionnels de l'IA/ML ne peuvent les décrire qu'en termes généralisés, comparés à des multiplications matricielles. Pour clarifier ce concept crucial, cet article propose une implémentation simplifiée et lisible en C++ moderne, permettant aux lecteurs de comprendre comment les contractions fonctionnent à des dimensions multiples. Où Interviennent les Contractions Considérons l'exemple d'un réseau neuronal simple à trois couches. La valeur de chaque neurone ( Y(j) ) dans la première couche cachée est calculée par : [ Y(j) = \sum_{i} M(i, j) \cdot X(i) ] où ( M(i, j) ) représente les poids connectant ( X(i) ) à ( Y(j) ). Cette opération est une multiplication matricielle standard qui peut être visualisée comme suit : Y(0) = M(0,0) * X(0) + M(1,0) * X(1) + M(2,0) * X(2) + M(3,0) * X(3) + M(4,0) * X(4) Y(1) = M(0,1) * X(0) + M(1,1) * X(1) + M(2,1) * X(2) + M(3,1) * X(3) + M(4,1) * X(4) ... Lorsque nous traitons des données batch, cette opération est répétée pour chaque instance, combinant ainsi plusieurs entrées en une seule grille. Par exemple, une matrice d'entrée ( X ) de dimensions ( 6 \times 5 ) et une matrice de poids ( M ) de dimensions ( 5 \times 4 ) produiront une matrice de résultats ( Y ) de dimensions ( 6 \times 4 ). Cas Multidimensionnels La multiplication matricielle standard est un cas particulier des contractions de tenseurs, qui sont des structures cubiques à plusieurs dimensions. Par exemple, si ( X(i) ) encode un pixel RGB, alors ( X(i) ) est un tableau de trois positions : ( X(i, r) ), ( X(i, g) ), et ( X(i, b) ). Si chaque ( Y(j) ) est également un pixel RGB, l'opération sera : [ Y(i, j) = \sum_{k} M(i, k, l) \cdot X(k, j, m) ] Cette contraction utilise des paires d'indices pour aligner les dimensions : - Paire {2, 0} : aligne la deuxième dimension de ( X ) avec la première de ( M ). - Dimensions non alignées de ( X ) et ( M ) forment les dimensions de ( Y ). Exemples d'autres configurations : - ( X ) {6, 3, 5} et ( M ) {5, 4} avec paires {2, 0} résultent en ( Y ) {6, 3, 4}. - ( X ) {2, 3} et ( M ) {3, 2} avec paires {1, 0} résultent en ( Y ) {2, 2}. - ( X ) {11, 12, 13, 14} et ( M ) {12, 13, 14} avec paires {1, 0}, {2, 1}, {3, 2} résultent en ( Y ) {11}. Implémentation des Tenseurs Dans une implémentation, les tenseurs sont souvent représentés par des conteneurs linéaires en continu, plutôt que par des grilles multidimensionnelles pour des raisons de performance. Le schéma de mise en forme utilisé ici est le ColMajor, où les éléments sont stockés colonne par colonne. Le convertisseur d'indices (ravel index) est utilisé pour transformer l'index tensoriel en position interne : ```cpp include include include int main(int, char **) { std::vector dimensions {6, 7, 8, 9}; std::vector prefix (dimensions.size(), 1); for (int j = dimensions.size() - 2; j >= 0; j--) { prefix[j] = dimensions[j + 1] * prefix[j + 1]; } std::vector indices {3, 1, 4, 1}; int pos = std::inner_product(indices.begin(), indices.end(), prefix.begin(), 0); std::cout << pos << "\n"; // prints 1621 return 0; } ``` Le inverse (unravel index) transforme une position interne en indices tensoriels : ```cpp class INDEX_GENERATOR { public: INDEX_GENERATOR(const DIMS &dims) { const int DIM_SIZE = dims.size(); this->divisors.resize(DIM_SIZE, 1); this->length = 1; for (int j = DIM_SIZE - 1; j >= 0; j--) { this->divisors[j] = this->length; this->length *= dims[j]; } } DIMS operator()(const int pos) const { const int DIM_SIZE = this->divisors.size(); DIMS result(DIM_SIZE, 0); int residual = pos; int acc; int index; for (int j = 0; j < DIM_SIZE; j++) { acc = this->divisors[j]; index = residual / acc; result[j] = index; residual -= index * acc; } return result; } private: DIMS divisors; int length; }; INDEX_GENERATOR generator({6, 7, 8, 9}); auto indices = generator(1621); // {3, 1, 4, 1} ``` Calcul des Coefficients de Contraction Pour calculer chaque coefficient de la contraction, nous devons trouver tous les coefficients correspondants des tenseurs ( X ) et ( M ), les multiplier terme à terme, puis les sommer : ```cpp Tensor contraction(const Tensor &other, const INDEX_PAIRS &pairs) const { const int this_size = this->dimensions.size(); const int other_size = other.dimensions.size(); const int pairs_size = pairs.size(); const int dim_size = this_size + other_size - 2 * pairs_size; // Calcul des dimensions de la contraction DIMS result_dimensions; result_dimensions.reserve(dim_size); for (int i = 0; i < this_size; ++i) { if (this_pairs_set.find(i) == this_pairs_set.end()) { result_dimensions.push_back(this->dimensions[i]); } } for (int i = 0; i < other_size; ++i) { if (other_pairs_set.find(i) == other_pairs_set.end()) { result_dimensions.push_back(other.dimensions[i]); } } // Précachage des offsets d'intersection std::vector<int> position_this_cache(intersection_length, 0); std::vector<int> position_other_cache(intersection_length, 0); for (int j = 0; j < intersection_length; ++j) { DIMS intersection = intersection_generator(j); int position_this = 0; int position_other = 0; for (int idx = 0; idx < pairs_size; ++idx) { position_this += intersection[idx] * this_pre[idx + dim_size]; position_other += intersection[idx] * other_pre[idx + dim_size]; } position_this_cache[j] = position_this; position_other_cache[j] = position_other; } // Calcul de chaque coefficient for (int i = 0; i < length; ++i) { DIMS indices = index_generator(i); int pos_this_before = 0; int pos_other_before = 0; for (int idx = 0; idx < dim_size; ++idx) { pos_this_before += indices[idx] * this_pre[idx]; pos_other_before += indices[idx] * other_pre[idx]; } FP_TYPE acc = FP_TYPE(0); for (int j = 0; j < intersection_length; ++j) { int pos_this = pos_this_before + position_this_cache[j]; int pos_other = pos_other_before + position_other_cache[j]; FP_TYPE this_coeff = this->storage[pos_this]; FP_TYPE other_coeff = other.storage[pos_other]; acc += this_coeff * other_coeff; } result.set(indices, acc); } return result; } ``` Optimisation des Performances Bien que cette implémentation soit principalement axée sur la clarté, elle offre déjà des performances décentes. Voici quelques astuces pour améliorer davantage les performances sans sacrifier la lisibilité : Réduction des Fautes de Cache : Le stockage en cache de calculs répétitifs réduit le temps d'accès à la mémoire. Implémentation Multi-Cœur : Utilise la programmation parallèle (multi-thread) pour distribuer la charge de travail : cpp std::vector<int> coefficients(length); std::iota(coefficients.begin(), coefficients.end(), 0); std::for_each(std::execution::par, coefficients.begin(), coefficients.end(), compute); Ce changement peut améliorer les performances jusqu'à 6 fois, car la charge de calcul est répartie entre plusieurs cœurs du processeur. Programmation GPU (CUDA) : Les contractions se prêtent bien à l'accélération GPU, mais nécessitent une refonte complète du code pour exploiter l'architecture différente des processeurs GPU. Pourquoi Nous Aimons les Contractions Les contractions de tenseurs sont essentielles pour les tâches de reconnaissance de motifs dans les systèmes de vision par ordinateur ou de traitement du langage naturel. Elles calculent la similarité multidimensionnelle, souvent représentée par la distance cosinus entre deux tenseurs. La distance cosinus mesure l'angle entre deux vecteurs, ce qui est très informatif pour jauger la similitude entre deux éléments dans un espace euclidien. Conclusion Comprendre les contractions de tenseurs est crucial pour les ingénieurs IA/ML. Cet article a fourni une implémentation claire en C++ moderne, adaptée pour faciliter la compréhension tout en offrant des performances raisonnablement bonnes. Le code complet est disponible sur GitHub pour une exploration plus approfondie et des contributions. Évaluation par des Professionnels Les experts de l'industrie saluent l'approche simplifiée et didactique présentée ici. Ils insistent sur l'importance de maîtriser les concepts fondamentaux avant de se pencher sur des optimisations complexes. Cette méthode pédagogique contribue grandement à démystifier les contractions de tenseurs et à renforcer les connaissances de base des praticiens. Projet : Profil de l'Entreprise L'auteur, Luiz, est un développeur passionné par les technologies IA et C++. Son projet vise à simplifier et rendre accessibles les concepts avancés, aidant ainsi les débutants et les professionnels à mieux comprendre les rouages internes des outils modernes d'IA. Le code open source utilisé dans ces tutoriels est un excellent point de départ pour ceux souhaitant approfondir leurs connaissances et participer activement à la communauté technique. L'article original, écrit par Luiz, est un excellent guide pour quiconque souhaite approfondir les aspects techniques des contractions de tenseurs en C++. Il fournit non seulement une explication claire et concise du concept, mais aussi une implémentation pratique que les lecteurs peuvent explorer et adapter selon leurs besoins.